P19 — Predicción y corrección: cada cuánto poner marcadores

Un robot calibrado estima su posición con odometría. Use este modelo simple de su incertidumbre:

• Al predecir con los encoders, la incertidumbre de posición crece 3 cm por cada metro recorrido.
• Al corregir viendo un marcador ArUco de posición conocida, la incertidumbre baja a 1 cm, sin importar cuánto valía antes.
• Al empezar, el robot está sobre un marcador: incertidumbre de 1 cm.

1. El robot da 3 vueltas a un cuadrado de 50 cm de lado sin usar marcadores. ¿Cuál es la incertidumbre al final?
2. Ahora hay un marcador en cada esquina y el robot corrige en cada una. ¿Cuál es la incertidumbre máxima durante el recorrido, y dónde ocurre? ¿Depende del número de vueltas?
3. Si los marcadores estuvieran a 2 m uno de otro, ¿cuál sería la incertidumbre máxima?
4. El robot debe pasar por una puerta, y para no chocar su incertidumbre no puede superar 4 cm. ¿Cuál es la máxima distancia entre marcadores?
5. Dibuje, en una gráfica cualitativa de incertidumbre contra distancia recorrida, el caso de la parte 2. ¿Qué forma tiene? Explique qué es el ciclo predicción–corrección.
6. La odometría es una creencia de hipótesis única: guarda un solo $(x, y, \theta)$. ¿Qué información le falta, comparada con una creencia que también guarde la incertidumbre (por ejemplo, una gaussiana)? ¿Por qué esa información sería útil para decidir cuándo buscar un marcador?

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1. Recorre $3 \times 4 \times 0.5 = 6$ m. Incertidumbre $= 1 + 3 \times 6 = 19$ cm.
2. Entre dos esquinas recorre 0.5 m: la incertidumbre sube de 1 cm a $1 + 3 \times 0.5 = 2.5$ cm, justo antes de ver el siguiente marcador, y vuelve a 1 cm. La máxima es 2.5 cm y no depende del número de vueltas: el error ya no se acumula.
3. $1 + 3 \times 2 = 7$ cm.
4. $1 + 3d \le 4 \Rightarrow d \le 1$ m.
5. Es un diente de sierra: rampas que suben con la distancia (predicción) y caídas verticales a 1 cm en cada marcador (corrección). El ciclo predicción–corrección es alternar dos pasos: predecir con los encoders, con lo que la incertidumbre crece, y corregir con lo que se ve, con lo que baja. Así la incertidumbre queda acotada.
6. Le falta cuánto se puede estar equivocando. Con hipótesis única, el robot cree estar exactamente en $(x, y, \theta)$ aunque lleve 6 m sin corregir. Si guarda también la incertidumbre, puede decidir: “si mi incertidumbre supera 4 cm, debo buscar un marcador antes de pasar la puerta”, o “no intento pasar hasta corregir”. Además puede pesar cuánto creerle a la odometría frente al marcador, lo que se formaliza con el filtro de Kalman.