P14 — Calibrar radio y trocha con datos del laboratorio

Un grupo midió con regla el radio de la rueda de su robot, $r_{\text{medido}} = 0.0210$ m, y la trocha (distancia entre ruedas), $t_{\text{medida}} = 0.1224$ m. Para calibrarlos usan:

$$r_{\text{efectivo}} = r_{\text{medido}} \times \frac{d_{\text{real}}}{2\ \text{m}} \qquad t_{\text{efectiva}} = t_{\text{medida}} \times \frac{3600°}{\alpha_{\text{real}}}$$

donde $d_{\text{real}}$ es la distancia que recorre el robot cuando se le ordena avanzar 2 m, y $\alpha_{\text{real}}$ el ángulo que gira cuando se le ordenan 10 vueltas (3600°) en el sitio. Hicieron tres ensayos de cada prueba:

Ensayo	$d_{\text{real}}$ (m)	$\alpha_{\text{real}}$
1	2.046	3510°
2	2.052	3522°
3	2.041	3507°

Los ensayos de giro se hicieron después de poner el radio efectivo en el programa.

1. Calcule el radio efectivo con el promedio de los ensayos. Antes de calibrar, ¿el robot se pasaba o se quedaba corto? ¿El radio efectivo es mayor o menor que el medido?
2. Calcule la trocha efectiva. Antes de calibrarla, ¿el robot giraba de más o de menos? Dé una razón física por la que la trocha efectiva pueda ser distinta de la medida con regla.
3. ¿Por qué se usan 3 ensayos y su promedio, en lugar de uno solo?
4. ¿Por qué se ordenan 2 m y 10 vueltas, y no 20 cm y una vuelta? Suponga que la distancia se mide con un error de ±1 cm y el ángulo con uno de ±5°, y compare el error relativo en los dos casos.
5. Para medir la distancia se pone el marcador en el centro del eje; para medir el giro, sobre el eje pero fuera del centro. Explique por qué cada posición conviene para su prueba.

Mostrar solución

1. Promedio $d_{\text{real}} = (2.046 + 2.052 + 2.041)/3 = 2.0463$ m. $r_{\text{efectivo}} = 0.0210 \times 2.0463/2 = 0.02149$ m. Antes de calibrar, el robot se pasaba (recorría 2.046 m en vez de 2 m): cada vuelta de rueda avanza más de lo que el programa creía, así que el radio efectivo es mayor que el medido.
2. Promedio $\alpha_{\text{real}} = (3510 + 3522 + 3507)/3 = 3513°$. $t_{\text{efectiva}} = 0.1224 \times 3600/3513 = 0.1254$ m. El robot giraba de menos (3513° en vez de 3600°). La trocha efectiva es la distancia entre los puntos donde las ruedas realmente apoyan; con llantas anchas o blandas, el apoyo no está en el centro de la llanta, y la distancia efectiva cambia.
3. Cada ensayo tiene error aleatorio (patinaje, cómo se ubicó el robot, cómo se leyó el metro). Promediar varios ensayos reduce ese error y deja el sistemático, que es el que se quiere corregir. Además, la diferencia entre ensayos muestra qué tan repetible es el robot.
4. Con 2 m, ±1 cm es un $0.5\,\%$; con 20 cm, ±1 cm es un $5\,\%$. Con 10 vueltas, ±5° es un $5/3600 = 0.14\,\%$; con una vuelta, $5/360 = 1.4\,\%$. Recorridos largos hacen que el error de medición sea pequeño en proporción al error del robot, que crece con la distancia.
5. Para la distancia interesa dónde quedó el centro del eje, que es el punto cuyo avance se calcula; si se marca otro punto, cualquier pequeño giro cambia la medida. Para el giro, el centro del eje no se mueve (gira en el sitio): un marcador sobre el eje pero lejos del centro dibuja una circunferencia, y su posición final permite medir con claridad el ángulo girado.