Ejercicios resueltos 📝

P1 — Espacio de trabajo de un robot polar

Un robot industrial usado para corte (láser, chorro de agua) tiene una estructura polar: gira alrededor de un eje vertical y extiende su herramienta radialmente. Su alcance radial va desde $r = 1.0\ m$ (radio mínimo, limitado por su propia base) hasta $R = 3.0\ m$ (alcance máximo), y puede girar $270°$ alrededor de su eje vertical.

1. Calcule el área de la corona circular que barre la herramienta de corte.
2. Si además el robot tiene una carrera vertical (eje $z$) de $0.8\ m$, calcule el volumen del espacio de trabajo.

Mostrar solución

1. El área de una corona circular completa (360°) es:

   $A_{360°} = \pi (R^2 - r^2) = \pi (3.0^2 - 1.0^2) = 8\pi \approx 25.13\ m^2$

   Como el robot solo cubre $270°$ de los $360°$:

   $A = \frac{270°}{360°} \cdot A_{360°} = 0.75 \times 25.13 \approx 18.85\ m^2$

2. El volumen del espacio de trabajo es el área anterior multiplicada por la carrera vertical:

   $V = A \cdot h = 18.85 \times 0.8 \approx 15.08\ m^3$

P2 — Torque en la base por manejo de carga

Un robot de soldadura por puntos sostiene una pinza de $80\ kg$ en el extremo de su brazo, completamente extendido en posición horizontal, con una longitud de $1.2\ m$ desde la base hasta la pinza (asuma masa puntual y $g = 9.8\ m/s^2$).

1. Calcule el torque que debe soportar la primera articulación (en la base) en esa posición.
2. El motor de esa articulación entrega un torque máximo de $1500\ N \cdot m$. ¿Puede sostener la carga? Justifique con el cálculo.

Mostrar solución

1. El torque generado por el peso en el extremo del brazo, con el brazo horizontal, es:

   $\tau = F \cdot d = (m \cdot g) \cdot d = (80 \times 9.8) \times 1.2 = 940.8\ N \cdot m$

2. Como $940.8\ N\cdot m < 1500\ N \cdot m$, el motor sí puede sostener la carga, con un margen de:

   $1500 - 940.8 = 559.2\ N \cdot m$

P3 — Producción en una celda de paletización

Una celda de paletización maneja piezas de hasta $100\ kg$. El tiempo de ciclo (tomar, mover y depositar una pieza) es de $8\ s$. El robot opera en dos turnos de $8$ horas por día, con una disponibilidad efectiva del $85\%$ (el resto del tiempo se pierde en paradas, cambios de pieza, etc.).

1. Calcule cuántas piezas puede paletizar el robot en un turno de 8 horas.
2. Calcule la producción diaria total (dos turnos).

Mostrar solución

1. Tiempo efectivo disponible por turno:

   $t_{ef} = 8\ h \times 3600\ \tfrac{s}{h} \times 0.85 = 24{,}480\ s$

   Piezas por turno:

   $N = \frac{t_{ef}}{t_{ciclo}} = \frac{24{,}480}{8} = 3{,}060\ \text{piezas}$

2. Producción diaria (dos turnos):

   $N_{dia} = 2 \times 3{,}060 = 6{,}120\ \text{piezas/día}$

P4 — Cronología y crecimiento de la robótica industrial

El término “robot” fue acuñado por Karel Čapek en su obra R.U.R. en 1921. El primer robot industrial (Unimate) empezó a operar en una planta de General Motors en 1961.

1. ¿Cuántos años pasaron entre la aparición del término en la ficción y su primera aplicación industrial real?
2. Suponga que, desde 1961, el número de robots industriales instalados en el mundo se ha duplicado aproximadamente cada 10 años, de forma constante, hasta el año 2021 (60 años después). ¿Cuántas duplicaciones han ocurrido y por qué factor total ha crecido el número de robots instalados?

Mostrar solución

1. $1961 - 1921 = 40\ \text{años}$

2. Número de duplicaciones en 60 años, con una duplicación cada 10 años:

   $n = \frac{60}{10} = 6\ \text{duplicaciones}$

   Factor de crecimiento total:

   $\text{factor} = 2^n = 2^6 = 64$

   Es decir, el número de robots instalados habría crecido 64 veces respecto al valor inicial.