Ejercicios resueltos 📝

P1 — Construcción de la jacobiana y clasificación de singularidades

1. El método de columnas de la jacobiana define, para una articulación de revolución, $J_i = \begin{bmatrix}Z^0_{i-1}\times(P^0_n-P^0_{i-1})\\ Z^0_{i-1}\end{bmatrix}$, y para una prismática, $J_i=\begin{bmatrix}Z^0_{i-1}\\ 0\end{bmatrix}$. Sin calcular nada, explique por qué la columna de una articulación prismática no depende de la posición del efector final $P_n$, mientras que la de una articulación de revolución sí. (Piense en qué tipo de movimiento aporta cada articulación al efector final y de qué depende su magnitud.)

2. Explique por qué, si dos articulaciones de revolución consecutivas de un robot llegan a tener sus ejes de rotación alineados en cierta postura, las dos columnas correspondientes de la jacobiana se vuelven linealmente dependientes. ¿Qué efecto tiene esto sobre el rango de la jacobiana y sobre las direcciones cartesianas en las que el robot puede moverse en ese instante?

3. Clasifique cada uno de los siguientes casos como singularidad de “límite del espacio de trabajo” o “interior del espacio de trabajo”, justificando con la definición de la página de singularidades:

   1. Un robot antropomórfico con el brazo completamente extendido, intentando alcanzar un punto un poco más allá de su alcance máximo.
   2. Un robot de 6 GDL con muñeca esférica en el que dos ejes de la muñeca se alinean mientras el efector está en una zona intermedia del espacio de trabajo, lejos de cualquier límite de alcance.

4. Un compañero afirma: “si el determinante de la jacobiana no es exactamente cero, el robot nunca tendrá problemas de control, sin importar qué tan pequeño sea ese determinante”. ¿Está de acuerdo? Justifique relacionando su respuesta con la necesidad de invertir la jacobiana para el control de velocidad ($\dot q = J^{-1}\dot e$).

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1. Una articulación prismática desplaza al efector final en línea recta, a lo largo de su eje $Z_{i-1}$, con una velocidad lineal igual a $\dot q_i$ multiplicado por ese mismo vector dirección: la contribución de velocidad no depende de qué tan lejos esté el efector final, solo de la dirección del eje de deslizamiento. En cambio, una articulación de revolución produce una velocidad lineal que es el producto de su velocidad angular por el brazo de palanca hasta el efector final ($P_n-P_{i-1}$): mientras más lejos esté el efector del eje de giro, mayor es la velocidad lineal que produce la misma velocidad angular. Por eso la fórmula de revolución involucra explícitamente $P^0_n-P^0_{i-1}$ (a través del producto cruz) y la de la prismática no.

2. Si dos ejes de revolución quedan alineados, ambas articulaciones giran en torno a la misma línea en el espacio: cualquier combinación de $\dot q$ de esas dos articulaciones que sea consistente con ese eje produce exactamente el mismo efecto sobre la velocidad del efector final (misma dirección de velocidad lineal y angular), por lo que sus columnas en la jacobiana dejan de ser independientes entre sí (una es proporcional a la otra). Esto reduce en uno el rango de la jacobiana: el robot pierde la capacidad de generar, de forma independiente, velocidad del efector final en al menos una dirección cartesiana, aunque matemáticamente todavía tenga “espacio” en sus articulaciones para moverse.

3. Clasificación de los dos casos:

   1. Es una singularidad de límite del espacio de trabajo: el punto deseado está justo en (o más allá de) el borde de la región alcanzable por el robot, que es precisamente la definición de esta categoría (“el efector final está en un punto del límite de trabajo del robot”).
   2. Es una singularidad interior: ocurre “dentro de la zona de trabajo” del robot (lejos de cualquier límite físico de alcance) y se debe, según la definición de la página, a que “dos o más ejes de las articulaciones del robot se alineen” — exactamente lo que describe el enunciado para los ejes de la muñeca.

4. No se está de acuerdo del todo. Aunque el determinante distinto de cero garantiza que $J^{-1}$ existe matemáticamente, si el determinante es muy pequeño (cerca de cero, sin ser exactamente cero) la jacobiana está “cerca” de una singularidad: al invertirla, pequeños errores o pequeñas velocidades cartesianas deseadas $\dot e$ pueden traducirse en velocidades articulares $\dot q=J^{-1}\dot e$ enormes, poco realizables físicamente por los motores del robot. Es decir, no basta con evitar el determinante exactamente cero; también hay que evitar acercarse demasiado a esas configuraciones.

P2 — Elección del método de jacobiana inversa según el escenario

Se presentan tres escenarios de uso, todos con robots donde ya se conoce la matriz jacobiana:

• Escenario A: un robot educativo de 2 GDL usado para experimentar con distintos diseños mecánicos; el estudiante cambia con frecuencia la longitud de los eslabones o agrega una articulación nueva.
• Escenario B: un robot industrial que repite siempre la misma tarea (la misma trayectoria, la misma pieza) miles de veces por turno, sin cambios en su programación ni en su diseño.
• Escenario C: un robot de 6 GDL controlado en tiempo real, que debe seguir trayectorias distintas en cada tarea, muestreando cientos de puntos por segundo.

1. Para cada escenario, indique cuál de las 3 alternativas para obtener la jacobiana inversa (descritas en la página de la jacobiana) es más apropiada, y justifique con las características propias de cada alternativa.
2. ¿Por qué la alternativa elegida para el escenario C sería poco práctica en el escenario A, donde el diseño mecánico del robot cambia con frecuencia?
3. Sea cual sea la alternativa usada, si la trayectoria que se programa en la función 1 del control cinemático (la ecuación analítica en cartesianas) pasa exactamente por una configuración singular del robot, la función 3 (conversión a coordenadas articulares mediante la transformación/jacobiana inversa) no puede resolverse en ese punto. Explique, sin calcular nada, a qué se debe esta falla y qué debería revisarse al planear la trayectoria del escenario C para evitarla.

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1. Para cada escenario:

   • Escenario A → Alternativa 3 (construir las ecuaciones cinemáticas inversas del robot y derivar de ahí la jacobiana), o incluso la Alternativa 1 (invertir la matriz cada vez). Como el diseño cambia con frecuencia, invertir simbólicamente una vez para “fijar” una configuración (Alternativa 2) no tiene sentido si de todos modos hay que rehacer el análisis cada vez que cambia la mecánica; conviene un método general que se pueda recalcular fácilmente para cada nuevo diseño.
   • Escenario B → Alternativa 2 (fijar la configuración e invertir la transformación para ese caso particular). Aunque esta alternativa “se debe recalcular en cada movimiento del robot”, en este escenario el movimiento siempre es el mismo, por lo que ese recálculo se hace una sola vez (o para un conjunto fijo de posturas) y luego se reutiliza indefinidamente sin costo adicional.
   • Escenario C → Alternativa 3 (ecuaciones cinemáticas inversas cerradas, de las que se deriva la jacobiana). Con cientos de muestras por segundo y trayectorias que cambian en cada tarea, se necesita evaluar la jacobiana inversa muy rápido y para configuraciones distintas en cada instante; tener una expresión cerrada ya derivada es mucho más eficiente que invertir una matriz numéricamente en cada muestra.

2. La Alternativa 3 requiere derivar de antemano las ecuaciones cinemáticas inversas del robot a partir de su estructura mecánica particular. Si el diseño cambia con frecuencia (otra longitud de eslabón, otra articulación), esas ecuaciones dejan de ser válidas y hay que rederivarlas por completo cada vez, lo cual anula la ventaja de tener una expresión cerrada reutilizable: en el escenario A resulta más práctico un método que no dependa de haber resuelto analíticamente la cinemática inversa del diseño actual.

3. En una configuración singular, la jacobiana pierde rango (o, en el caso de la transformación de posición, dejan de existir soluciones articulares consistentes con ese punto cartesiano), por lo que su inversa no existe: la función 3 no tiene una única solución articular que producir a partir de ese punto cartesiano, sin importar qué alternativa de las tres se use para calcularla. Al planear la trayectoria del escenario C, debería revisarse la función 1 (la ecuación analítica de la trayectoria) para verificar, antes de ejecutarla, que no pase exactamente por ninguna configuración singular conocida del robot, replanteando el camino cartesiano si es necesario.

P3 — Tipos de trayectoria e interpoladores en el robot SCARA

El robot SCARA de la práctica debe dibujar un cuadrado, es decir, mover el efector en línea recta entre 4 esquinas sucesivas. La práctica ofrece 4 modos: P2P-eje-por-eje, P2P-movimiento-simultaneo, P2P-movimiento-coordinado e interpolacion-continua.

1. Si se usa P2P-eje-por-eje para ir de una esquina a la siguiente, ¿qué forma tiene la trayectoria real del efector final en el plano (en vez de la línea recta esperada)? Justifique con la definición de trayectoria “punto a punto” (“cada articulación se mueve de su punto inicial al final sin considerar el estado de las demás”).
2. ¿En qué se diferencia P2P-movimiento-simultaneo de P2P-movimiento-coordinado? Use la definición de trayectorias “coordinadas (isócronas)” para explicar cuál de los dos modos garantiza que ambas articulaciones lleguen exactamente al mismo tiempo al punto final, y cuál no lo garantiza aunque ambas se muevan a la vez.
3. Ni siquiera P2P-movimiento-coordinado garantiza que el efector se desplace en línea recta entre las esquinas del cuadrado. ¿Cuál de los 4 modos sí lo garantiza, y por qué? Relacione con la definición de trayectorias “continuas”.
4. Al llegar a cada esquina el robot debe frenar suavemente, sin cambios bruscos de velocidad que generen tirones sobre el mecanismo. Para la interpolación de cada articulación, ¿es más adecuado un interpolador lineal o uno cúbico? Justifique en términos de la continuidad de la velocidad en el punto de llegada.

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1. En P2P-eje-por-eje, las articulaciones se mueven una después de otra (o al menos sin coordinación alguna entre ellas), por lo que el efector no recorre la línea recta entre las esquinas, sino una trayectoria en forma de “escalón” o de “L”: primero se completa el desplazamiento que corresponde a una articulación y solo después se mueve la otra, terminando en el punto correcto pero sin haber pasado por la recta que los une.

2. En ambos modos las dos articulaciones se mueven simultáneamente (a diferencia de eje-por-eje), pero:

   • En movimiento-simultaneo, cada articulación se mueve a su propia velocidad, por lo que la articulación más rápida (o con menor recorrido) termina su movimiento antes que la otra.
   • En movimiento-coordinado, que corresponde a la trayectoria “coordinada (isócrona)” de la teoría, los actuadores ajustan su velocidad para que todas las articulaciones lleguen exactamente al mismo tiempo al punto final.

   Solo movimiento-coordinado garantiza la llegada simultánea; en movimiento-simultaneo las articulaciones arrancan y se mueven a la vez, pero pueden terminar en instantes distintos.

3. Solo interpolacion-continua garantiza la línea recta. Las trayectorias “continuas” se definen como aquellas en las que se calculan constantemente las trayectorias cartesianas del efector (líneas rectas, arcos de círculo) y luego se convierten a coordenadas articulares en cada instante; en cambio, los tres modos punto a punto —incluso el coordinado— solo controlan cómo evolucionan las articulaciones, no la forma de la trayectoria cartesiana intermedia del efector.

4. Es más adecuado el interpolador cúbico. Según la página de trayectorias, los interpoladores lineales mantienen la velocidad constante entre puntos, lo que implica un cambio brusco (discontinuo) de velocidad justo al llegar a cada esquina (la velocidad pasa de un valor constante a cero de forma instantánea). Los interpoladores cúbicos, al usar polinomios de tercer grado, aseguran velocidad continua en los puntos de unión, permitiendo que el robot desacelere suavemente hasta detenerse en cada esquina sin generar los tirones mecánicos que sí produciría un interpolador lineal.