Ejercicios resueltos 📝

P1 — Multiplicidad de soluciones y verificación

En la página de cinemática inversa del robot de 2GDL se muestra que el efector final puede alcanzar la posición $(40,40)$ con dos configuraciones articulares distintas: $(0, \pi/2)$ o $(\pi/2, -\pi/2)$, y se advierte que “la solución para la cinemática inversa arroja 4 soluciones, de estas se deberá verificar con la cinemática directa cuáles son adecuadas”.

1. Explique geométricamente por qué un robot planar de 2GDL puede tener hasta 4 soluciones matemáticas para una misma posición del efector final (relacione su respuesta con los conceptos de “codo arriba” y “codo abajo”).
2. ¿Por qué es necesario verificar las soluciones obtenidas con la cinemática directa antes de enviarlas al robot real? Dé un ejemplo de una solución que sea matemáticamente válida (satisface las ecuaciones) pero físicamente inalcanzable o inadecuada para el robot, y justifique a qué concepto de la morfología del robot se debe esa restricción.
3. En la ecuación $q_2 = a\cos\left(\dfrac{x^2+y^2-a_1^2-a_2^2}{2a_1a_2}\right)$, ¿bajo qué condición sobre $x, y, a_1, a_2$ esta ecuación no tiene solución real? Explique qué significa esa condición en términos del espacio de trabajo del robot.

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1. Para una posición $(x,y)$ dada, existen en general dos formas geométricas de “cerrar” el triángulo formado por los dos eslabones $a_1$ y $a_2$ hasta ese punto: con el codo doblado hacia un lado (codo arriba) o hacia el otro (codo abajo). Como además cada ángulo articular puede expresarse módulo $2\pi$ (sumando o restando una vuelta completa), el número de combinaciones matemáticamente válidas se duplica, llegando hasta 4 soluciones (aunque en un robot real, con límites articulares, muchas veces solo 1 o 2 son físicamente realizables).

2. Es necesario verificar con la cinemática directa porque las ecuaciones de la cinemática inversa se derivan de identidades trigonométricas (como $a\cos$ o $a\tan$) que no distinguen si el ángulo resultante respeta los límites físicos de las articulaciones del robot (rangos de giro permitidos por su morfología) ni si esa configuración provoca colisiones del brazo consigo mismo o con el entorno. Por ejemplo, una solución “codo abajo” puede requerir que la segunda articulación gire más allá de su límite mecánico (p. ej. $-200°$ cuando el motor solo permite $\pm180°$), siendo matemáticamente correcta pero inalcanzable para ese robot en particular.

3. El argumento del $a\cos$ debe estar en el rango $[-1,1]$. La ecuación no tiene solución real cuando:

   $$\left|\frac{x^2+y^2-a_1^2-a_2^2}{2a_1a_2}\right| > 1$$

   lo cual ocurre cuando $\sqrt{x^2+y^2} > a_1+a_2$ (el punto está más lejos de lo que el brazo totalmente extendido puede alcanzar) o cuando $\sqrt{x^2+y^2} < |a_1-a_2|$ (el punto está demasiado cerca, dentro de la “zona muerta” que el brazo no puede alcanzar incluso plegado). Físicamente, esto significa que el punto $(x,y)$ no pertenece al espacio de trabajo alcanzable del robot.

P2 — Comparación de métodos de resolución

La página de cinemática inversa del robot de 2GDL usa el método geométrico, mientras que la del robot de 3GDL usa el método de matrices de transformación homogénea (despejando $^{0}A_1^{-1}\cdot T = {}^1A_2\cdot{}^2A_3$, luego $^{1}A_2^{-1}\cdot{}^0A_1^{-1}\cdot T = {}^2A_3$, y extrayendo términos específicos de cada matriz resultante).

1. ¿Por qué el método geométrico, práctico para 2 o 3 GDL, se vuelve poco práctico para un robot de 6 GDL (como el UR5e), mientras que el método algebraico de matrices de transformación sigue siendo aplicable? Justifique en términos de la complejidad de visualizar geométricamente varios eslabones simultáneamente frente a la sistematicidad del álgebra matricial.
2. En el método de matrices de transformación, para despejar $q_1$ se multiplica la ecuación $T={}^0A_1\cdot{}^1A_2\cdot{}^2A_3$ por $^{0}A_1^{-1}$ a ambos lados, en vez de resolver directamente el sistema con $q_1,q_2,q_3$ mezclados en una sola ecuación matricial. ¿Por qué esta estrategia de “despejar por partes” facilita el problema? Justifique en términos del número de incógnitas trigonométricas acopladas en cada ecuación resultante.
3. El temario de la semana menciona también el método de desacoplamiento cinemático. ¿En qué tipo de estructura de muñeca (respecto a los tres últimos ejes del robot) es aplicable este método, y por qué esa condición geométrica permite separar el problema de posición del problema de orientación?

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1. El método geométrico se basa en identificar triángulos y relaciones angulares visibles en un plano (o en pocos planos), lo cual es manejable con 2 o 3 eslabones. Con 6 GDL, los eslabones ya no se mueven en un único plano y las relaciones espaciales entre ejes no colineales ni coplanares son difíciles de visualizar e imposibles de resolver con trigonometría plana simple. El método de matrices, en cambio, es puramente algebraico y sistemático: se aplican las mismas operaciones (multiplicar por inversas, igualar términos) sin importar cuántos eslabones haya, aunque el álgebra se vuelva más extensa.
2. Si se intentara resolver la ecuación completa $T={}^0A_1\cdot{}^1A_2\cdot{}^2A_3$ de una sola vez, cada término de la matriz resultante contendría productos y sumas de funciones trigonométricas de $q_1$, $q_2$ y $q_3$ simultáneamente (ecuaciones trascendentes acopladas), que en general no tienen una solución algebraica directa. Al premultiplicar por $^{0}A_1^{-1}$, se “aísla” el efecto de $q_1$ en un lado de la ecuación, de forma que al igualar un término específico (como el $(3,4)$) se obtiene una ecuación en la que solo aparece $q_1$, resolviéndose de forma independiente. Repitiendo el proceso con $^{1}A_2^{-1}$ se aísla $q_2$, y así sucesivamente — convirtiendo un sistema acoplado de 3 incógnitas en una secuencia de ecuaciones de 1 incógnita cada una.
3. El desacoplamiento cinemático es aplicable cuando el robot tiene una muñeca esférica: los tres últimos ejes de rotación se intersectan en un único punto (el centro de la muñeca). Esta condición geométrica permite resolver primero la posición de ese punto (usando solo las tres primeras articulaciones, el problema de “posicionamiento”), y luego, una vez fijada la posición, resolver la orientación del efector final usando solo las tres últimas articulaciones (el problema de “orientación”), ya que estas últimas solo rotan alrededor de ese punto sin desplazarlo. Si los ejes de la muñeca no se intersectan en un solo punto, mover las articulaciones de orientación también cambiaría la posición del efector final, y los dos subproblemas no podrían resolverse por separado.

P3 — Selección de librería de cinemática inversa

Se presentan tres escenarios de uso de cinemática inversa:

• Escenario A: un estudiante quiere resolver rápidamente la cinemática inversa de un brazo educativo de 3 GDL para un prototipo, sin considerar restricciones dinámicas ni de colisión.
• Escenario B: un equipo necesita resolver simultáneamente varios objetivos geométricos: alcanzar una posición con el efector final, evitar que el codo choque con un obstáculo, y mantener una postura preferida del brazo.
• Escenario C: se debe planear el movimiento de un robot respetando los límites de torque y velocidad de sus motores, optimizando el consumo de energía durante la trayectoria.

1. Para cada escenario, indique cuál de las librerías vistas en clase (IKPy, Crocoddyl, Pinocchio, Pink) es la más apropiada, y justifique con las características descritas en la página de librerías.
2. ¿Por qué IKPy, siendo la más sencilla de usar, no sería la mejor opción para el escenario C?

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1. Para cada escenario:

   • Escenario A → IKPy: es una librería “ligera y fácil de usar diseñada específicamente para resolver problemas de cinemática inversa”, ideal para “proyectos educativos y prototipado rápido” — coincide exactamente con las necesidades del escenario.
   • Escenario B → Pink: es una “solución moderna enfocada en control de robots basado en restricciones geométricas”, descrita como “excelente para tareas que requieren precisión y múltiples objetivos simultáneos” — coincide con la necesidad de combinar posición, evitación de obstáculo y postura preferida como restricciones geométricas simultáneas.
   • Escenario C → Crocoddyl: es una “librería avanzada para control óptimo y optimización dinámica”, capaz de “resolver problemas complejos de cinemática inversa con restricciones dinámicas y de movimiento” — coincide con la necesidad de respetar torque, velocidad y optimizar energía.

2. IKPy está diseñada solo para resolver la cinemática inversa geométrica (encontrar ángulos articulares que alcancen una posición), sin considerar restricciones dinámicas como torque, velocidad o consumo de energía. El escenario C requiere optimización sobre esas variables dinámicas a lo largo de una trayectoria, que es precisamente lo que ofrece Crocoddyl y no IKPy.