P12 — Grados de rueda para un cuadrado con encoders

Un robot diferencial tiene radio de rueda $r = 0.021$ m y trocha (distancia completa entre ruedas) $t = 0.1224$ m; cada rueda está a $l = t/2$ del centro del eje. Los encoders de los motores tienen una resolución de 1°, y el programa solo puede ordenar ángulos enteros de rueda. Para girar en el sitio, las dos ruedas giran el mismo ángulo en sentidos opuestos, y cada una recorre un arco de radio $l$ alrededor del centro del eje.

1. ¿Cuántos grados debe girar cada rueda para que el robot avance 50 cm?
2. ¿Cuántos grados debe girar cada rueda para que el robot gire 90° en el sitio?
3. Redondee los dos resultados a grados enteros, como lo haría el programa. ¿Cuánto avanza y cuánto gira realmente el robot con esos valores redondeados?
4. ¿Cuál es el menor cambio de orientación que la odometría puede detectar, si solo una rueda avanza 1°? Use $\Delta\theta = \dfrac{\Delta s_R - \Delta s_L}{2l}$ con $\Delta s = r\,\Delta\phi$.
5. Con base en 3 y 4, ¿es la resolución del encoder la principal causa de que el robot no cierre el cuadrado? Si no, ¿cuáles son las causas principales?

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1. $\Delta\phi = d/r = 0.50/0.021 = 23.81$ rad $= 1364.2°$.
2. Cada rueda recorre un arco $l\,\alpha = 0.0612 \times \pi/2 = 0.0961$ m. $\Delta\phi = 0.0961/0.021 = 4.578$ rad $= 262.3°$.
3. Con 1364°: $d = 0.021 \times 1364 \times \pi/180 = 0.49993$ m, un error de 0.07 mm. Con 262°: $\alpha = 90° \times 262/262.29 = 89.90°$, un error de 0.1° por esquina (0.4° por cuadrado).
4. $\Delta\theta = \dfrac{0.021 \times \pi/180}{0.1224} = 0.0030$ rad $= 0.17°$.
5. No. Los errores por resolución son de décimas de milímetro y de décimas de grado, muy pequeños. Lo que hace que el cuadrado no cierre son los errores sistemáticos (radio y trocha efectivos distintos de los medidos con regla, ruedas de radios distintos) y los aleatorios (patinaje, irregularidades del piso). Por eso se calibran $r$ y $t$, y por eso, aun calibrado, el robot necesita una referencia externa.