Ejercicios resueltos 📝

P1 — Robot planar de 3 GDL (RRR) no visto en clase

Un manipulador planar de 3 GDL, con las tres articulaciones de rotación y todos sus ejes de giro paralelos entre sí (perpendiculares al plano de movimiento), tiene eslabones de longitud $L_1 = 300\ mm$, $L_2 = 250\ mm$ y $L_3 = 150\ mm$.

1. Construya la tabla de parámetros de Denavit-Hartenberg para este robot (articulaciones $q_1, q_2, q_3$).
2. Obtenga las matrices de transformación individuales $^{0}A_1$, $^{1}A_2$ y $^{2}A_3$.
3. Obtenga la matriz de transformación total $T = {}^{0}A_3$, y a partir de ella las ecuaciones generales de posición $(x, y)$ del efector final y el ángulo de orientación $\phi$ del efector final respecto al eje $X$ de la base. Exprese el resultado de la forma más simplificada posible (use identidades de suma de ángulos).
4. Evalúe numéricamente $(x, y, \phi)$ para $q_1 = 20°$, $q_2 = -40°$, $q_3 = 30°$.

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1. Como el robot es planar (todos los ejes $z$ paralelos, sin desplazamientos fuera del plano), $\alpha_i = 0$ y $d_i = 0$ para las tres articulaciones:

   $i$	$\alpha_i$	$a_i$	$d_i$	$\theta_i$
   1	$0$	$L_1$	$0$	$q_1$
   2	$0$	$L_2$	$0$	$q_2$
   3	$0$	$L_3$	$0$	$q_3$

2. Con $\alpha_i = 0$, cada matriz $^{i-1}A_i = T_z(\theta_i)T(0,0,d_i)T(a_i,0,0)T_x(\alpha_i)$ se reduce a:

   $$^{0}A_1 = \begin{bmatrix}\cos q_1 & -\sin q_1 & 0 & L_1\cos q_1\\ \sin q_1 & \cos q_1 & 0 & L_1 \sin q_1 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix},\quad ^{1}A_2 = \begin{bmatrix}\cos q_2 & -\sin q_2 & 0 & L_2\cos q_2\\ \sin q_2 & \cos q_2 & 0 & L_2 \sin q_2 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ $$^{2}A_3 = \begin{bmatrix}\cos q_3 & -\sin q_3 & 0 & L_3\cos q_3\\ \sin q_3 & \cos q_3 & 0 & L_3 \sin q_3 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

3. Multiplicando $^{0}A_1 \cdot {}^{1}A_2$, la submatriz de rotación resultante es $Rz(q_1)\cdot Rz(q_2) = Rz(q_1+q_2)$ (la composición de dos rotaciones en el mismo eje se suma), y su columna de traslación resulta en:

   $$x_{02} = L_1\cos q_1 + L_2\cos(q_1+q_2), \qquad y_{02} = L_1\sin q_1 + L_2\sin(q_1+q_2)$$

   Multiplicando por $^{2}A_3$ se obtiene $T = {}^{0}A_3$, con rotación total $Rz(q_1+q_2+q_3)$ y posición:

   $$x = L_1\cos q_1 + L_2\cos(q_1+q_2) + L_3\cos(q_1+q_2+q_3)$$ $$y = L_1\sin q_1 + L_2\sin(q_1+q_2) + L_3\sin(q_1+q_2+q_3)$$

   La orientación del efector final respecto al eje $X$ de la base es simplemente la suma de los tres ángulos articulares:

   $$\phi = q_1+q_2+q_3$$

4. Con $q_1=20°$, $q_2=-40°$, $q_3=30°$: $q_1+q_2 = -20°$, $q_1+q_2+q_3 = 10°$.

   $$x = 300\cos(20°) + 250\cos(-20°) + 150\cos(10°) = 281.91 + 234.92 + 147.72 \approx 664.55\ mm$$ $$y = 300\sin(20°) + 250\sin(-20°) + 150\sin(10°) = 102.60 - 85.50 + 26.04 \approx 43.14\ mm$$ $$\phi = 20° - 40° + 30° = 10°$$

P2 — Orientación del efector final del robot esférico (RRP) de clase

Para el robot de 3 GDL visto en clase (RRP), con parámetros $\alpha_1=90°$, $\alpha_2=-90°$, no use las ecuaciones de posición ya deducidas: en su lugar, trabaje directamente con las submatrices de rotación $3\times3$ de $^{0}A_1$ y $^{1}A_2$.

1. Extraiga las submatrices de rotación $R_1$ (de $^0A_1$) y $R_2$ (de $^1A_2$), y multiplíquelas explícitamente para obtener $^{0}R_2 = R_1 \cdot R_2$ en forma simbólica.
2. Evalúe numéricamente $^{0}R_2$ para $q_1 = 60°$, $q_2 = 30°$.
3. La tercera articulación es prismática y se desliza a lo largo del eje $z_2$. La dirección de ese eje respecto a la base está dada por la tercera columna de $^{0}R_2$. Calcule ese vector numéricamente e interprételo: ¿en qué dirección se extendería el robot al aumentar $q_3$?
4. Verifique que $^{0}R_2$ es una matriz de rotación válida: compruebe que sus tres columnas son vectores unitarios y que al menos dos de ellas son ortogonales entre sí (producto punto igual a cero).

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1. De las matrices de la tabla DH del robot ($^0A_1$ con $\alpha_1=90°$, $^1A_2$ con $\alpha_2=-90°$):

   $$R_1 = \begin{bmatrix}\cos q_1 & 0 & \sin q_1\\ \sin q_1 & 0 & -\cos q_1 \\ 0&1&0\end{bmatrix}, \qquad R_2 = \begin{bmatrix}\cos q_2 & 0 & -\sin q_2\\ \sin q_2 & 0 & \cos q_2 \\ 0&-1&0\end{bmatrix}$$

   Multiplicando fila por columna:

   $$^{0}R_2 = R_1 R_2 = \begin{bmatrix} \cos q_1\cos q_2 & -\sin q_1 & -\cos q_1 \sin q_2\\ \sin q_1 \cos q_2 & \cos q_1 & -\sin q_1 \sin q_2 \\ \sin q_2 & 0 & \cos q_2 \end{bmatrix}$$

2. Con $\cos 60°=0.5$, $\sin 60°=0.866$, $\cos 30°=0.866$, $\sin 30°=0.5$:

   $$^{0}R_2 = \begin{bmatrix} 0.433 & -0.866 & -0.25\\ 0.75 & 0.5 & -0.433\\ 0.5 & 0 & 0.866 \end{bmatrix}$$

3. La tercera columna es $\vec{z}_2 = (-0.25,\ -0.433,\ 0.866)$. Al aumentar $q_3$, el efector final se aleja del origen en esa dirección: mayormente hacia $+z$ de la base (componente $0.866$), con una componente lateral hacia $-x$ y $-y$.

4. Norma de cada columna:

   $$\|c_1\| = \sqrt{0.433^2+0.75^2+0.5^2} = \sqrt{0.1875+0.5625+0.25} = 1$$ $$\|c_2\| = \sqrt{(-0.866)^2+0.5^2+0^2} = \sqrt{0.75+0.25} = 1, \qquad \|c_3\| = \sqrt{(-0.25)^2+(-0.433)^2+0.866^2} = 1$$

   Ortogonalidad entre $c_1$ y $c_2$:

   $$c_1 \cdot c_2 = (0.433)(-0.866) + (0.75)(0.5) + (0.5)(0) = -0.375 + 0.375 + 0 = 0$$

   Las columnas son unitarias y ortogonales entre sí, confirmando que $^{0}R_2$ es una matriz de rotación válida.

P3 — Posición de la muñeca del UR5e (parámetros reales)

Usando los parámetros DH reales del UR5e (tabla de la sección Variables DH para UR5e): $\alpha_1 = 90°$, $d_1 = 89.2\ mm$; $\alpha_2 = 0$, $a_2 = 425.0\ mm$; $\alpha_3 = 0$, $a_3 = 392.0\ mm$.

1. Construya las matrices $^{0}A_1$, $^{1}A_2$ y $^{2}A_3$ para la configuración articular $q_1 = 0°$, $q_2 = -90°$, $q_3 = 90°$.
2. Multiplique las tres matrices en cadena para obtener $^{0}A_3 = {}^0A_1 \cdot {}^1A_2 \cdot {}^2A_3$.
3. A partir de $^{0}A_3$, indique la posición $(x, y, z)$ del origen del sistema 3 (referencia de la muñeca) respecto a la base del robot.

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1. Con $q_1=0°$ ($\cos=1,\sin=0$), $\alpha_1=90°$:

   $$^{0}A_1 = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&89.2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

   Con $q_2=-90°$ ($\cos=0,\sin=-1$), $\alpha_2=0$, $a_2=425.0$:

   $$^{1}A_2 = \begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&-425\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

   Con $q_3=90°$ ($\cos=0,\sin=1$), $\alpha_3=0$, $a_3=392.0$:

   $$^{2}A_3 = \begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&392\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

2. Primero $^{0}A_2 = {}^0A_1 \cdot {}^1A_2$:

   $$^{0}A_2 = \begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&-1&0\\-1&0&0&-335.8\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

   (la componente $z$ de traslación es $89.2 - 425 = -335.8\ mm$). Luego $^{0}A_3 = {}^0A_2 \cdot {}^2A_3$:

   $$^{0}A_3 = \begin{bmatrix}1&0&0&392\\0&0&-1&0\\0&1&0&-335.8\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

3. La cuarta columna de $^{0}A_3$ da la posición buscada:

   $$(x, y, z) = (392,\ 0,\ -335.8)\ mm$$