P18 — Medir distancias entre marcadores ArUco en una foto

Cuatro marcadores ArUco de 2.54 cm de lado se pusieron en el piso en las esquinas de un cuadrado de 50 cm (medido con metro de centro a centro). Se tomó una foto desde arriba, con el celular paralelo al piso. En la foto, el lado de cada marcador mide 38 px, y los centros de los marcadores están en (en píxeles):

$$A = (400,\ 1600) \quad B = (1148,\ 1612) \quad C = (1137,\ 2361) \quad D = (390,\ 2349)$$

El cuadrado es $A \to B \to C \to D \to A$.

1. Calcule la escala de la foto en px/cm.
2. Calcule en centímetros los cuatro lados y las dos diagonales. ¿Qué deberían medir las diagonales de un cuadrado de 50 cm? Compare.
3. Un estudiante escribe en el programa MARKER_SIZE = 0.03 (3 cm) en lugar de 0.0254. ¿Qué distancia reporta para el lado $AB$? ¿Qué tipo de error es y cómo se reconoce?
4. Si el lado del marcador se mide en la foto con un error de ±1 px, ¿qué error relativo produce en todas las distancias? En el video de $640 \times 480$, el mismo marcador ocuparía unos 8 px. ¿Qué error relativo tendría? ¿Por qué conviene usar la foto?
5. ¿Por qué el programa pide que la foto se tome paralela al piso? ¿Qué le pasaría a la escala si la foto está inclinada?

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1. Escala $= 38/2.54 = 14.96$ px/cm.

Tramo	px	cm
$AB$	$\sqrt{748^2 + 12^2} = 748.1$	50.00
$BC$	$\sqrt{11^2 + 749^2} = 749.1$	50.07
$CD$	$\sqrt{747^2 + 12^2} = 747.1$	49.94
$DA$	$\sqrt{10^2 + 749^2} = 749.1$	50.07
$AC$	$\sqrt{737^2 + 761^2} = 1059.4$	70.81
$BD$	$\sqrt{758^2 + 737^2} = 1057.2$	70.67

Las diagonales deberían medir $50\sqrt{2} = 70.71$ cm. Lados y diagonales están dentro de 1 mm, más o menos, de lo esperado: el cuadrado está bien armado y la foto, bien tomada. 3. El programa calcula la escala como $38/3 = 12.67$ px/cm, y $AB = 748.1/12.67 = 59.1$ cm. Todas las distancias salen multiplicadas por $3/2.54 = 1.18$: es un error sistemático de escala. Se reconoce porque todas las distancias salen 18 % más grandes, con las proporciones intactas (la diagonal sigue siendo $\sqrt{2}$ veces el lado). 4. Con 38 px: $1/38 = 2.6\,\%$ en todas las distancias. Con 8 px: $1/8 = 12.5\,\%$. La foto tiene mucha más resolución: el marcador ocupa más píxeles y el error de un píxel pesa menos. 5. El programa usa una sola escala para toda la imagen, lo que solo es válido si todo el piso está a la misma distancia de la cámara. Con la foto inclinada, la parte del piso más lejana se ve más pequeña: la escala cambia a lo largo de la imagen, los marcadores lejanos se ven más pequeños, y el cuadrado aparece como un trapecio, con distancias equivocadas.