Ejercicios resueltos 📝

P1 — ROI y VAN de una celda robótica de soldadura

Una empresa evalúa instalar una celda robótica de soldadura con una inversión inicial $I_0 = 150{,}000\ USD$. La celda reemplaza el trabajo de personal en dos turnos, generando un ahorro neto de $45{,}000\ USD/año$ durante su vida útil de 5 años. La tasa de descuento de la empresa es $r = 8\%$ anual.

1. Calcule el ROI simple al final de los 5 años: $ROI = \dfrac{\text{ganancia neta total} - I_0}{I_0}$.
2. Calcule el periodo de recuperación simple (payback), sin descuento.
3. Calcule el VAN a 5 años, descontando cada flujo anual a la tasa $r=8\%$: $VAN = -I_0 + \sum_{t=1}^{5} \dfrac{CF_t}{(1+r)^t}$.
4. Según el criterio “un proyecto es viable si $VAN > 0$”, ¿es viable esta inversión?

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1. Ganancia neta total en 5 años: $45{,}000 \times 5 = 225{,}000\ USD$.

   $$ROI = \frac{225{,}000 - 150{,}000}{150{,}000} = \frac{75{,}000}{150{,}000} = 0.5 = 50\%$$
2. $$Payback = \frac{150{,}000}{45{,}000} \approx 3.33\ \text{años}$$

3. Factores de descuento a $8\%$: $\frac{1}{1.08^t}$ para $t=1,\dots,5$:

   $t$	1	2	3	4	5
   $1/1.08^t$	0.9259	0.8573	0.7938	0.7350	0.6806

   Suma de factores $\approx 3.9927$.

   $$VAN = -150{,}000 + 45{,}000 \times 3.9927 \approx -150{,}000 + 179{,}672 = 29{,}672\ USD$$

4. Como $VAN = 29{,}672\ USD > 0$, el proyecto sí es viable.

P2 — Estimación de la TIR por interpolación

Con los mismos flujos del ejercicio anterior ($I_0=150{,}000\ USD$, $CF=45{,}000\ USD/año$ durante 5 años), en el punto 3 de P1 se encontró que a $r=8\%$, $VAN \approx +29{,}672\ USD$.

1. Calcule el VAN para $r = 18\%$.
2. La TIR es la tasa a la que $VAN=0$. Estime la TIR por interpolación lineal entre los dos puntos $(r=8\%,\ VAN=+29{,}672)$ y $(r=18\%,\ VAN\ \text{del punto anterior})$.
3. Compare la TIR estimada con la tasa de descuento de la empresa ($8\%$). ¿Es consistente esta conclusión con el resultado de VAN del ejercicio anterior? Justifique.

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1. Factores de descuento a $18\%$: $1/1.18=0.8475$, $1/1.18^2=0.7182$, $1/1.18^3=0.6086$, $1/1.18^4=0.5158$, $1/1.18^5=0.4371$. Suma $\approx 3.1272$.

   $$VAN_{18\%} = -150{,}000 + 45{,}000 \times 3.1272 \approx -150{,}000 + 140{,}724 = -9{,}276\ USD$$

2. Interpolando linealmente entre $r=8\%$ ($VAN=+29{,}672$) y $r=18\%$ ($VAN=-9{,}276$):

   $$TIR \approx 8\% + \frac{29{,}672}{29{,}672-(-9{,}276)}\times(18\%-8\%) = 8\% + \frac{29{,}672}{38{,}948}\times10\% \approx 8\% + 7.6\% = 15.6\%$$

3. Como $TIR \approx 15.6\% > 8\%$ (tasa de descuento), el proyecto es viable también según el criterio de la TIR. Esto es consistente con el resultado del ejercicio anterior: si el VAN es positivo a la tasa de descuento de la empresa, la TIR (tasa a la que el VAN se vuelve cero) debe ser mayor que esa tasa de descuento.

P3 — Cobertura del workspace e interferencias en el layout

En el layout (vista superior) de una celda robótica, el robot se ubica en el origen $(0,0)$ de un plano $XY$ (en metros). Su alcance radial efectivo está entre $r_{min}=0.3\ m$ (zona muerta cerca de la base) y $r_{max}=1.8\ m$. La mesa de trabajo que debe cubrir por completo es un rectángulo con esquinas en $(0.9, 0.5)$, $(0.9, 1.3)$, $(1.6, 0.5)$ y $(1.6, 1.3)$. Además, hay una columna estructural fija (obstáculo) en $(0.5, 1.5)$.

1. Calcule la distancia del robot a cada una de las 4 esquinas de la mesa.
2. ¿La mesa completa está dentro del espacio de trabajo alcanzable ($r_{min} \le d \le r_{max}$)? Si no, identifique qué esquina(s) presentan un problema y proponga al menos una solución de diseño (reposicionar el robot, cambiar de robot, reubicar la mesa).
3. Calcule la distancia del robot a la columna. ¿Existe riesgo de interferencia entre el robot y la columna durante su operación normal? Justifique con base en el rango $[r_{min}, r_{max}]$.

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1. Usando $d=\sqrt{x^2+y^2}$:

   $$d_{(0.9,0.5)} = \sqrt{0.81+0.25} = \sqrt{1.06} \approx 1.030\ m$$ $$d_{(0.9,1.3)} = \sqrt{0.81+1.69} = \sqrt{2.50} \approx 1.581\ m$$ $$d_{(1.6,0.5)} = \sqrt{2.56+0.25} = \sqrt{2.81} \approx 1.676\ m$$ $$d_{(1.6,1.3)} = \sqrt{2.56+1.69} = \sqrt{4.25} \approx 2.062\ m$$

2. Las tres primeras esquinas están dentro del rango $[0.3,\ 1.8]$, pero la esquina $(1.6,1.3)$ está a $2.062\ m$, fuera del alcance máximo de $1.8\ m$. La mesa no cabe completamente en el espacio de trabajo. Soluciones posibles: acercar el robot a la mesa (reducir la distancia a esa esquina), seleccionar un robot con mayor alcance, o reducir el tamaño/reubicar la mesa para que su esquina más lejana quede dentro de $1.8\ m$.

3. Distancia a la columna:

   $$d_{columna} = \sqrt{0.5^2+1.5^2} = \sqrt{0.25+2.25} = \sqrt{2.5} \approx 1.581\ m$$

   Como $0.3 \le 1.581 \le 1.8$, la columna se encuentra dentro del espacio de trabajo operativo del robot: existe riesgo de interferencia si el brazo barre esa zona durante su ciclo de trabajo, y debería tratarse como un obstáculo a evitar en la programación de trayectorias o delimitarse con una zona de exclusión física, según lo visto en la sección de seguridad.