Ejercicios resueltos 📝

P1 — Grados de libertad de una configuración articular

Un robot manipulador está formado por dos articulaciones de rotación (revolute) en el hombro y el codo, más una articulación esférica (spherical) en la muñeca para orientar el efector final.

1. Calcule el total de grados de libertad (GDL) del robot.
2. ¿Es suficiente esta configuración para posicionar y orientar completamente una pieza en el espacio (6 GDL)? Justifique con el resultado del punto 1.
3. ¿Cuántas articulaciones de rotación adicionales, como mínimo, se necesitarían agregar para que el robot sea redundante?

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1. Según la tabla de tipos de articulación: revolute = 1 GDL, spherical = 3 GDL.

   $GDL = 1 + 1 + 3 = 5$

2. No es suficiente: se necesitan 6 GDL (3 de posición + 3 de orientación) y la configuración solo aporta 5. Faltaría 1 GDL para posicionar y orientar la pieza completamente.

3. Con 1 articulación de rotación adicional se llega a $5+1=6$ GDL, que es el mínimo necesario (no redundante). Para que el robot sea redundante se necesitan GDL adicionales a los 6 requeridos, es decir, como mínimo 2 articulaciones de rotación más ($5+2=7$ GDL).

P2 — Relación de reducción en un Harmonic Drive

Un motor eléctrico gira a $3000\ rpm$ y entrega un torque de $2\ N \cdot m$. Está acoplado a un Harmonic Drive con relación de reducción $100{:}1$ y eficiencia del $80\%$.

1. Calcule la velocidad angular de salida del reductor.
2. Calcule el torque de salida ideal (sin pérdidas).
3. Calcule el torque de salida real, considerando la eficiencia del reductor.

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1. La reducción de velocidad es inversa a la relación de reducción:

   $\omega_{salida} = \frac{\omega_{entrada}}{100} = \frac{3000}{100} = 30\ rpm$

2. El torque ideal se multiplica por la relación de reducción:

   $\tau_{ideal} = \tau_{entrada} \times 100 = 2 \times 100 = 200\ N \cdot m$

3. El torque real se reduce por la eficiencia del reductor:

   $\tau_{real} = \tau_{ideal} \times 0.80 = 200 \times 0.80 = 160\ N \cdot m$

P3 — Fuerza de un actuador neumático

Un actuador neumático usa un pistón de $40\ mm$ de diámetro y opera a una presión de $8\ bar$ (dentro del rango típico de $5$–$10\ bar$ visto en clase). Recuerde que $1\ bar = 100{,}000\ Pa$ y que la fuerza sobre un pistón es $F = P \cdot A$.

1. Calcule el área del pistón.
2. Calcule la fuerza máxima que puede ejercer el actuador.

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1. Radio del pistón: $r = 20\ mm = 0.02\ m$

   $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 \approx 1.257 \times 10^{-3}\ m^2$

2. Presión en pascales: $P = 8\ bar = 800{,}000\ Pa$

   $F = P \cdot A = 800{,}000 \times 1.257\times10^{-3} \approx 1005.3\ N$

P4 — Selección de reductor para paletizado

Una celda de paletizado en una fundición requiere un reductor capaz de entregar picos de hasta $40{,}000\ N \cdot m$, en un entorno con vibraciones y sobrecargas frecuentes. Se evalúa un Cycloidal Drive con relación de reducción $160{:}1$ y eficiencia del $90\%$, alimentado por un motor que entrega $250\ N \cdot m$ de torque.

1. Calcule el torque de salida ideal del reductor.
2. Calcule el torque de salida real, considerando la eficiencia.
3. ¿Cumple el reductor seleccionado el requisito de $40{,}000\ N \cdot m$? Si no, calcule la relación de reducción mínima necesaria (con el mismo motor y eficiencia) para cumplirlo.

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1. $\tau_{ideal} = 250 \times 160 = 40{,}000\ N \cdot m$

2. $\tau_{real} = 40{,}000 \times 0.90 = 36{,}000\ N \cdot m$

3. No cumple: $36{,}000\ N\cdot m < 40{,}000\ N\cdot m$. La relación de reducción mínima necesaria se obtiene despejando:

   $n_{min} = \frac{40{,}000}{250 \times 0.90} = \frac{40{,}000}{225} \approx 177.8$

   Es decir, se necesitaría una relación de al menos 178:1 (en la práctica, se elegiría el siguiente valor estándar disponible, por ejemplo 180:1). Nótese además que el Cycloidal Drive es la elección adecuada frente al Harmonic Drive para este caso, ya que este último solo soporta hasta 3,000 N·m y es menos tolerante a vibraciones y sobrecargas.