Ejercicios resueltos 📝

P1 — Composición e inversión de transformaciones homogéneas

Un robot tiene un sistema de referencia $O_1$ ligado al codo que, respecto a la base $O_0$, está rotado $\theta = 60°$ alrededor de $Z$ y trasladado $v_1 = (150, 0, 300)$ mm. El efector final tiene un sistema $O_2$ que, respecto a $O_1$, está rotado $\phi = -30°$ alrededor de $Z$ y trasladado $v_2 = (100, 50, 0)$ mm.

1. Construya las matrices $^{0}T_1$ y $^{1}T_2$.
2. Obtenga $^{0}T_2 = {}^0T_1 \cdot {}^1T_2$ (matriz $4\times4$ completa).
3. Un punto $P_2 = (20, 0, 0)$ mm está definido en el sistema del efector final. Calcule su posición $P_0$ respecto a la base.
4. Calcule la transformación inversa $^{2}T_0 = ({}^0T_2)^{-1}$ usando las propiedades $R^{-1} = R^T$ y $v_{inv} = -R^T v$. Verifique aplicando $^{2}T_0$ al punto $P_0$ hallado en el punto 3: debe recuperar $P_2$.

Mostrar solución

1. Con $\cos 60°=0.5$, $\sin 60°=0.866$, $\cos(-30°)=0.866$, $\sin(-30°)=-0.5$:

   $$^{0}T_1 = \begin{bmatrix}0.5&-0.866&0&150\\0.866&0.5&0&0\\0&0&1&300\\0&0&0&1\end{bmatrix}, \qquad ^{1}T_2 = \begin{bmatrix}0.866&0.5&0&100\\-0.5&0.866&0&50\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

2. La rotación se compone sumando ángulos ($60°-30°=30°$), ya que ambas son alrededor de $Z$:

   $$R_{02} = R_z(60°)R_z(-30°) = R_z(30°) = \begin{bmatrix}0.866&-0.5&0\\0.5&0.866&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$

   La traslación es $t_{02} = R_z(60°)\cdot v_2 + v_1$:

   $$R_z(60°)\cdot(100,50,0) = (0.5(100)-0.866(50),\ 0.866(100)+0.5(50),\ 0) = (6.7,\ 111.6,\ 0)$$ $$t_{02} = (6.7,\ 111.6,\ 0) + (150,\ 0,\ 300) = (156.7,\ 111.6,\ 300)$$ $$^{0}T_2 = \begin{bmatrix}0.866&-0.5&0&156.7\\0.5&0.866&0&111.6\\0&0&1&300\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

3. $P_0 = R_{02}\cdot P_2 + t_{02}$:

   $$R_{02}\cdot(20,0,0) = (0.866(20),\ 0.5(20),\ 0) = (17.32,\ 10.0,\ 0)$$ $$P_0 = (17.32+156.7,\ 10.0+111.6,\ 0+300) = (174.0,\ 121.6,\ 300)\ mm$$

4. $R_{02}^{-1} = R_{02}^T = R_z(-30°)$:

   $$R_{02}^T = \begin{bmatrix}0.866&0.5&0\\-0.5&0.866&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ $$R_{02}^T \cdot t_{02} = (0.866(156.7)+0.5(111.6),\ -0.5(156.7)+0.866(111.6),\ 300) = (191.5,\ 18.3,\ 300)$$ $$v_{inv} = -(191.5,\ 18.3,\ 300) = (-191.5,\ -18.3,\ -300)$$ $$^{2}T_0 = \begin{bmatrix}0.866&0.5&0&-191.5\\-0.5&0.866&0&-18.3\\0&0&1&-300\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

   Verificación: $^{2}T_0 \cdot P_0 = R_{02}^T\cdot P_0 + v_{inv}$:

   $$R_{02}^T\cdot(174.0,121.6,300) = (0.866(174.0)+0.5(121.6),\ -0.5(174.0)+0.866(121.6),\ 300) = (211.3,\ 18.3,\ 300)$$ $$(211.3,\ 18.3,\ 300) + (-191.5,\ -18.3,\ -300) = (19.8,\ 0,\ 0) \approx (20, 0, 0) = P_2 \checkmark$$

   (la pequeña diferencia con $20$ es por redondeo intermedio a 1 decimal).

P2 — Composición de rotaciones con cuaternios

Se aplican dos rotaciones sucesivas a un cuerpo: primero $\phi_1 = 90°$ alrededor del eje $Z$ ($a_1=(0,0,1)$), y luego $\phi_2 = 180°$ alrededor del eje $X$ ($a_2=(1,0,0)$).

1. Calcule los cuaternios $Q_1$ y $Q_2$ que representan cada rotación.
2. Calcule el cuaternio compuesto $Q = Q_2 \cdot Q_1$ (aplicar primero $Q_1$, luego $Q_2$), usando la fórmula del producto de cuaternios $(s_1,v_1)\cdot(s_2,v_2) = (s_1s_2-v_1\cdot v_2,\ v_1\times v_2+s_1v_2+s_2v_1)$.
3. Verifique que $Q$ es unitario.
4. Use $Q$ para rotar el vector $p=(1,0,0)$ mediante $p' = Q\cdot(0,p)\cdot Q^{-1}$ (recuerde que para un cuaternio unitario $Q^{-1}=Q'$, el conjugado). Compare el resultado con lo que esperaría geométricamente al aplicar primero una rotación de $90°$ en $Z$ y luego $180°$ en $X$ sobre el eje $X$ original.

Mostrar solución

1. Con $\phi_1/2=45°$ y $\phi_2/2=90°$:

   $$Q_1 = (\cos 45°,\ (0,0,1)\sin 45°) = (0.7071,\ 0,\ 0,\ 0.7071)$$ $$Q_2 = (\cos 90°,\ (1,0,0)\sin 90°) = (0,\ 1,\ 0,\ 0)$$

2. Con $(s_a,v_a)=Q_2=(0,(1,0,0))$ y $(s_b,v_b)=Q_1=(0.7071,(0,0,0.7071))$:

   $$s = s_as_b - v_a\cdot v_b = 0 - (1\cdot0+0\cdot0+0\cdot0.7071) = 0$$ $$v_a\times v_b = (1,0,0)\times(0,0,0.7071) = (0,\ -0.7071,\ 0)$$ $$v = v_a\times v_b + s_av_b + s_bv_a = (0,-0.7071,0) + (0,0,0) + (0.7071,0,0) = (0.7071,\ -0.7071,\ 0)$$ $$Q = (0,\ 0.7071,\ -0.7071,\ 0)$$
3. $$\|Q\| = \sqrt{0^2+0.7071^2+0.7071^2+0^2} = \sqrt{0.5+0.5} = 1 \checkmark$$

4. $Q^{-1}=Q'=(0,-0.7071,0.7071,0)$. Primero $Q\cdot(0,p)$ con $(s_a,v_a)=Q=(0,(0.7071,-0.7071,0))$, $(s_b,v_b)=(0,(1,0,0))$:

   $$s = 0 - (0.7071)(1) = -0.7071, \qquad v = (0,0,0.7071)$$

   Luego $(-0.7071,(0,0,0.7071))\cdot Q'$ con $(s_b,v_b)=Q'=(0,(-0.7071,0.7071,0))$:

   $$s' = (-0.7071)(0) - \left[(0)(-0.7071)+(0)(0.7071)+(0.7071)(0)\right] = 0$$ $$v' = (0,0,0.7071)\times(-0.7071,0.7071,0) + (-0.7071)(-0.7071,0.7071,0) + 0 = (-0.5,-0.5,0)+(0.5,-0.5,0) = (0,-1,0)$$ $$p' = (0,\ -1,\ 0)$$

   Verificación geométrica: rotar $(1,0,0)$ por $90°$ en $Z$ da $(0,1,0)$; rotar ese resultado $180°$ en $X$ invierte $y$ y $z$, dando $(0,-1,0)$. Coincide exactamente. ✓

P3 — Sensor esférico con traslación y verificación de distancia

Un sensor de profundidad instalado en la muñeca del robot reporta la posición de un objeto en coordenadas esféricas respecto a su propio origen: $\rho = 850\ mm$, $\theta = 35°$ (azimut, en el plano $XY$), $\phi = 50°$ (ángulo polar, medido desde el eje $Z$).

1. Convierta $(\rho,\theta,\phi)$ a coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ respecto al sensor.
2. El origen del sensor está trasladado $v=(0,0,200)$ mm respecto a la base del robot (sin rotación entre ambos sistemas). Calcule la posición del objeto respecto a la base.
3. Calcule la distancia 3D entre la base del robot y el objeto. ¿Es un resultado físicamente razonable, sabiendo que el sensor tiene un alcance máximo $\rho_{max}=850\ mm$ y está a $200\ mm$ de altura sobre la base? Justifique con un límite superior razonable para la distancia.

Mostrar solución

1. Con $\sin 50°=0.766$, $\cos 50°=0.643$, $\cos 35°=0.819$, $\sin 35°=0.574$:

   $$x = \rho\sin\phi\cos\theta = 850(0.766)(0.819) \approx 533.4\ mm$$ $$y = \rho\sin\phi\sin\theta = 850(0.766)(0.574) \approx 373.5\ mm$$ $$z = \rho\cos\phi = 850(0.643) \approx 546.4\ mm$$

2. Como no hay rotación entre los sistemas, basta sumar la traslación:

   $$(x,y,z)_{base} = (533.4,\ 373.5,\ 546.4+200) = (533.4,\ 373.5,\ 746.4)\ mm$$
3. $$d = \sqrt{533.4^2+373.5^2+746.4^2} = \sqrt{284{,}516+139{,}502+556{,}913} = \sqrt{980{,}931} \approx 990.4\ mm$$

   Un límite superior razonable es $\rho_{max}+200 = 1050\ mm$ (si el objeto estuviera exactamente sobre el eje $Z$ del sensor, alineado con el offset de altura). Como $990.4\ mm < 1050\ mm$, el resultado es físicamente coherente.